Ableitungsregeln

Wenn du die Ableitung einer Funktion ermittelst, berechnest du damit, welche Steigung eine Funktion an der Stelle x hat. Diese Ableitung zu berechnen, ist auf verschiedenen Wegen möglich. Der einfachste Weg ist es, die verschiedenen Ableitungsregeln auswendig zu lernen. Sie helfen dir, mit wenig Aufwand die gewünschte Ableitung zu finden. Zu den wichtigsten Ableitungsregeln gehören:

• die Ableitungsregel für Konstanten und x
• die Potenzregel
• die Faktorregel
• die Summenregel
• die Differenzregel
• die Produktregel
• die Quotientenregel
• die Kettenregel

Darüber hinaus gibt es weitere wichtige Ableitungsregeln, mit denen du zum Beispiel die Ableitung einer Wurzel-, Sinus- oder e-Funktion berechnen kannst. Auf dieser Seite geben wir dir einen Überblick über alle Ableitungsregeln, die du in der Schule verwenden wirst. Du kannst auf die verschiedenen Links klicken, um mehr über die einzelnen Ableitungsregeln zu erfahren und dir zahlreiche Beispiele anzusehen.  

Diese zwei sehr einfachen Ableitungsregeln wirst du immer wieder brauchen. Präge sie dir daher genau ein:

1. Die Ableitung einer Konstanten

Konstante Funktionen sind zum Beispiel:

f(x)=5

f(x)=−2

Die Ableitung einer Konstanten ist immer 0. Das ist auch leicht zu erklären: Eine konstante Funktion wird als eine Gerade dargestellt, die parallel zur x-Achse verläuft. Sie hat keine Steigung – daher muss die Ableitung 0 sein. Als Formel dargestellt, sieht das so aus:

f(x)=C mit C∈R

2. Die Ableitung von x

Die Ableitung von x ist immer 1. Als Formel schreiben wir:

f(x)=x

f′(x)=1

In diesem Abschnitt stellen wir dir die wichtigsten Regeln zum Ableiten, jeweils mit ihrer Formel und einem kurzen Beispiel vor.

1. Die Potenzregel und die Faktorregel

Die Potenzregel wendest du für Potenzfunktionen an. Sie besagt, dass du bei der Ableitung deine Variable x mit dem Exponenten n multiplizierst und den Exponenten um 1 reduzierst. Als Formel sieht das so aus:

f(x)= xn

f′(x)=n ⋅ xn−1

Die Faktorregel besagt, dass ein Vorfaktor a vor einer Funktion auch bei der Ableitung unverändert erhalten bleibt. Die Formel für die Faktorregel lautet:

f(x)= a  ⋅ g(x)

f′(x)= a ⋅ g′(x)

Alles klar? Wenn nicht, dann erfahre hier mehr über die Potenzregel und die Faktorregel.

2. Die Summenregel und die Differenzregel

Wenn du eine Funktion ableiten sollst, die eine Summe enthält, wendest du die Summenregel an. Die Summenregel ist einfach. Sie besagt, dass du zunächst die Teilfunktionen (links und rechts vom Plus-Zeichen) ableitest und die Ergebnisse dann addierst. Als Formel sieht die Summenregel so aus:

f(x)= g(x) + h(x)

f(x)= g′(x) + h′(x)

Links und rechts vom Plus-Zeichen erkennst du hier die beiden Teilfunktionen. Sie heißen g(x) und h(x). Hier ein Beispiel dazu, wie du mit der Summenregel ableitest:

Die Differenzregel funktioniert ganz ähnlich. Der einzige Unterschied ist, dass du die abgeleiteten Teilfunktionen hier nicht addierst, sondern die Differenz daraus bildest. Daher lautet die Formel:

f(x)= g(x) - h(x)

f(x)= g′(x) - h′(x)

Auch dazu eine Aufgabe als Beispiel:

Hast du diese beiden Regeln verstanden? Wenn nicht, dann lies hier mehr über die Summen- und Differenzregel.

3. Die Produktregel

Wie der Name schon erahnen lässt, brauchst du diese Ableitungsregel für Funktionen, in denen Teilfunktionen vorkommen, die zusammen ein Produkt bilden. Die Teilfunktionen findest du links und rechts vom Malpunkt. So sieht die Formel für die Produktregel aus:

f(x)= g(x) ⋅ h(x)

f′(x)= g′(x) ⋅ h(x) + g(x) ⋅ h′(x)

In Worten ausgedrückt besagt die Produktregel Folgendes: Die Ableitung von f(x) ist gleich die Ableitung von g(x) mal h(x) plus g(x) mal die Ableitung von h(x).

Lass uns auch dazu ein Beispiel ansehen:

Ging das etwas schnell? Dann lies hier mehr über die Produktregel.

4. Die Quotientenregel

Die Produktregel brauchst du, um die Ableitung einer Funktion mit einem Produkt zu berechnen – und die Quotientenregel? Natürlich immer dann, wenn deine Funktion aus Teilfunktionen besteht, die einen Quotienten bilden. Wann die Quotientenregel angebracht ist, ist leicht zu erkennen, denn du wirst es in aller Regel mit einem Bruch zu tun haben. Und so sieht die Formel aus:

f(x)=g(x)h(x)

f′(x)=h(x)⋅g′(x)−g(x)⋅h′(x)(h(x))2

Das sieht auf den ersten Blick etwas kompliziert aus, doch eigentlich bedeutet die Quotientenregel nur Folgendes: Die Ableitung f′(x) ist gleich Nenner mal Ableitung des Zählers minus Zähler mal Ableitung des Nenners geteilt durch Nenner zum Quadrat.

An einem Beispiel wird das deutlicher:

5. Die Kettenregel

In einer Übersicht über die wichtigsten Ableitungsregeln darf die Kettenregel nicht fehlen, denn diese wirst du sehr oft brauchen. Sie kommt dann zum Einsatz, wenn du verkettete Funktionen ableiten sollst. Was sind verkettete Funktionen? Sie bestehen aus einer äußeren Funktion – zum Beispiel einer Potenzfunktion, einer e-, Wurzel- oder Sinus-Funktion – und einer inneren Funktion, die von der äußeren verarbeitet wird. Als Formel sieht das so aus:

f(x)=g(h(x))

f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)

Die äußere Funktion in f(x) ist hier g(x), und sie verarbeitet die innere Funktion h(x). Schauen wir uns an einem Beispiel an, wie diese Teilfunktionen aussehen können:

Die folgenden Ableitungsregeln sind recht einfach. Da sie aber häufig vorkommen, lernst du sie am besten auswendig, damit du sie in Sekundenschnelle anwenden kannst:

1. Ableitung der Wurzelfunktion

f(x)=√x

f′(x)=12√x

Tipp: Lies hier mehr über die Wurzelfunktion.

2. Ableitung der Sinus-, Cosinus- und Tangens-Funktionen

f(x)=sin(x)

f′(x)=cos(x)

f(x)=cos(x)

f′(x)=−sin(x)

f(x)=tan(x)

f′(x)=1cos2(x)

3. Ableitung der e-Funktion

f(x)=ex

f′(x)=ex

Tipp: Lies hier mehr über die e-Funktion.

4. Ableitung der Logarithmus-Funktion

f(x)=ln(x)

f′(x)=1x

Tipp: Lies hier mehr über die Logarithmus-Funktion.

Es wird dir häufig passieren, dass du auf eine Gleichung stößt, für deren Ableitung du mehr als eine Ableitungsregel benötigst. Wie findest du heraus, welche Regeln du anwenden musst? Merke dir dazu einfach die Hinweise, die wir dir zu den einzelnen Regeln gegeben haben. Oft steckt der Hinweis schon im Namen: Nutze die Potenzregel für Potenzfunktionen, die Produktregel für Funktionen mit einem Produkt und so weiter.

Wir schauen uns nun noch zwei Beispiele an, in denen gleich mehrere Ableitungsregeln zum Einsatz kommen.

Beispiel 1

Als Beispiel nehmen wir folgende Funktion:

f(x)=4x3+2x2−7x

Du kannst hier feststellen,

• dass Potenzen vorkommen (z. B. x3),
• dass Vorfaktoren enthalten sind (z. B. 2x2),
• dass es eine Summe gibt (4x3+2x2) und
• dass eine Differenz gebildet wird (2x2−7x).

Daraus kannst du schließen, dass du die Potenzregel, die Faktorregel, die Summenregel und die Differenzregel benötigen wirst.

In Bezug auf die Summen- und die Differenzregel hast du gelernt, dass wir zunächst die Teilfunktionen ableiten. Daher beginnen wir mit der Ableitung der Potenzen und berücksichtigen dabei auch, dass laut Faktorregel die Vorfaktoren (hier die Zahlen 4 und 2) erhalten bleiben:

g(x)=4x3

g′(x)=4⋅3x2=12x2

h(x)=2x2

h′(x)=2⋅2x=4x

i(x)=7x

i′(x)=7⋅1=7

Jetzt können wir die Summenregel und die Differenzregel anwenden, die ja besagen, dass die Ableitungen der Teilfunktionen addiert bzw. subtrahiert werden:

f(x)=4x3+2x2−7x

f′(x)=12x2+4x +7

Gar nicht so schwierig, oder?

Beispiel 2

Diesmal nehmen wir als Beispiel folgende Funktion:

f(x)=(3x3+7)⋅e2x

Lass uns zunächst wieder herausfinden, welche Ableitungsregeln wir hier brauchen. Zunächst einmal taucht in der Klammer eine Potenz (x3) auf – auf jeden Fall ist also schon einmal die Potenzregel dabei. Am Ende der Funktion siehst du die e-Funktion. Diese umschließt als äußere Funktion eine weitere (innere) Funktion, nämlich 2x. Daher benötigen wir hier die Kettenregel. Außerdem bilden die beiden Teile links und rechts vom Malpunkt zusammen ein Produkt, weshalb außerdem die Produktregel zum Einsatz kommt.

Über die Produktregel weißt du bereits, dass du zunächst die Teilfunktionen einzeln ableiten musst. Wir beginnen daher damit:

g(x)=3x3+7

h(x)=e2x

Die Ableitung von g(x) bilden wir mithilfe der Potenzregel und der Faktorregel:

g(x)=3x3+7

g′(x)=9x2

Für die Ableitung von h(x) müssen wir die Kettenregel nutzen, da es hier eine äußere und eine innere Funktion gibt:

h(x)=\(e\)2x

Damit wir mit den Buchstaben nicht durcheinanderkommen, nennen wir die äußere Funktion u(x) und die innere v(x):

u(x)=ex

v(x)=2x

Die Kettenregel lautet dann für unsere Teilfunktion h(x):

h′(x)=u′(v(x))⋅v′(x)

Die Ableitung der e-Funktion – unserer äußeren Funktion u(x) – ist leicht zu bilden, denn die Ableitung von ex ist wiederum ex. Also:

u′(x)=ex

v′(x)=2

Nun können wir die Bestandteile in die Kettenregel einsetzen:

h(x)=u′(v(x))⋅v′(x)

h′(x)=e2x⋅2=2e2x

So weit, so gut! Nun haben wir h′(x) ermittelt. Erinnerst du dich noch, dass wir ursprünglich g′(x) und h′(x) in die Formel für die Produktregel einsetzen wollten? Zunächst hatten wir Folgendes ermittelt:

g(x)=3x3+7

h(x)=e2x

Jetzt kennen wir zusätzlich die Ableitungen dieser beiden Teilfunktionen:

g′(x)=9x2

h′(x)=2e2x

Nun können wir endlich in die Produktregel einsetzen und somit die Ableitung unserer ursprünglichen Funktion f(x)=(3x3+7)⋅e2x berechnen:

f′(x)=g′(x)⋅h(x)+g(x)⋅h′(x)

f′(x)=9x2⋅e2x+(3x3+7)⋅2e2x

Geschafft! Du weißt nun, wie du auch kompliziertere Ableitungen berechnest, indem du mehrere Ableitungsregeln für dieselbe Funktion anwendest. Möchtest du deine Fertigkeiten noch weiter verbessern? Dann nutze unsere vielen Übungsaufgaben online, um weiter zu trainieren!