Die partielle Integration kann als Umkehrung der Produktregel verstanden werden. Mithilfe der partiellen Integration kannst du Produkte integrieren.
Die partielle Integration ermöglicht es, bestimmte Produkte von Funktionen zu integrieren.
Es gilt für stetige Funktionen f und g im Intervall [a;b]:
∫baf′(x)⋅g(x) dx=[f(x)⋅g(x)]ba−∫baf(x)⋅g′(x) dx
Kennt man also eine Stammfunktion von f oder g und kann man das Integral auf der rechten Seite bestimmen, so kann man auch das Produkt integrieren.
Herleitung:
Die Ableitung der Produktfunktion f⋅g bildet man mit der Produktregel:
(f(x)⋅g(x))′=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)
Integriert man nun beide Seiten, erhält man
∫(f(x)⋅g(x))′dx=∫(f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x))dx=∫f′(x)⋅g(x)dx+∫f(x)⋅g′(x)dx
Da das Integrieren der Ableitung auf der linken Seite grade wieder die Funktion selbst ergibt, gilt somit
f(x)⋅g(x)=∫f′(x)⋅g(x)dx+∫f(x)⋅g′(x)dx
Indem man eines der beiden Integrale auf die andere Seite bringt, erhält man die obenstehende Formel für die partielle Integration.
Beispielaufgaben:
Berechne mithilfe partieller Integration:
a) ∫51x⋅ln(x) dx;
Lösung:
a) Wähle f′(x)=x;g(x)=ln(x)⇒f(x)=12x2;g′(x)=1x
∫51x⋅ln(x) dx=[12x2⋅ln(x)]51−∫5112x2⋅1x dx=12⋅52⋅ln(6)−12⋅12⋅ln(1)−∫5112x dx=252ln(5)−0−[14x2]51=252ln(5)−(254−14)=252ln(5)−6
b) Wähle f′(x)=ex;g(x)=x⇒f(x)=ex;g′(x)=1
∫21x⋅ex dx=[ex⋅x]21−∫211⋅ex dx=e2⋅2−e1⋅1−[ex]21=2e2−e−(e2−e)=2e2−e−e2+e=e2
c) Wähle f′(x)=sin(x);g(x)=cos(x)⇒f(x)=−cos(x);g′(x)=−sin(x)
∫π20sin(x)⋅cos(x) dx=[−cos2(x)]π20−∫π20sin(x)⋅cos(x) dx2⋅∫π20sin(x)⋅cos(x) dx=[−cos2(x)]π20intπ20sin(x)⋅cos(x) dx=−12(cos2(π2)−cos2(0))=−12(0−1)=12
Partielle Integration
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 6987
Integrationsregeln / Stammfunktionsbildung | Schwierigkeitsgrad: 1 | ||||||||||||||||||||||||
Partielle Integration | Serie 03 | ||||||||||||||||||||||||
Aufgabe 1 | |||||||||||||||||||||||||
Wurden die Funktionen korrekt integriert? Kreuze die richtige Antwort an. | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
Aufgabe 2 | |||||||||||||||||||||||||
Verbinde die Funktion mit der dazugehörigen Stammfunktion. | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
Aufgabe 3 | |||||||||||||||||||||||||
Integriere mit Hilfe der partiellen Integration auf dem angegebenen Intervall. | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
Partielle Integration
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 5817
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 6988
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 5818
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 6989
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 5819