Eigenschaften von Potenzfunktionen – online lernen

Achsenschnittpunkte von Polynomfunktionen

Man spricht von (ganzrationalen) Polynomfunktionen höheren Grades, wenn die Variable mindestens zur dritten Potenz im Funktionsterm enthalten ist. Anders gesagt: die Funktion enthält x³ oder höher. Der größte Exponent ist dann gleich dem Grad der Funktion. Ihren Schnittpunkt mit der y-Achse berechnet man wie üblich durch Einsetzen von x = 0. Das Berechnen der Nullstellen (der Schnittpunkte mit der x-Achse) hängt vom konkreten Fall ab.

Man sollte sich merken, dass eine ganzrationale Funktion höchstens so viele Nullstellen haben kann, wie der Wert ihres Grads. Funktionen mit ungeradem Grad haben mindestens eine Nullstelle.

Durch Nullsetzen der Funktion erhält man eine Polynomgleichung höheren Grades. Für sie hat man mehrere Strategien parat:

Einfache Gleichungen, die nur einen Potenzterm enthalten, kann man direkt nach x umstellen:

• 0=x5−12

Wann immer es geht, versucht man die Gleichung durch Ausklammern der Variable zu vereinfachen und den Satz vom Nullprodukt anzuwenden:

• 0=x3−7x2+10x  
• 0=x(x2−7x+10)

Biquadratische Gleichungen lassen sich mit der Substitution vereinfachen: 

• 0=2x4−5x2+3 |x2=u
• 0=2u2−5u+3

Bei Kenntnis (z.B. durch Erraten) einer Lösung kann die Gleichung mit Hilfe der Polynomdivision (oder dem Horner-Schema) durch Faktorisieren vereinfacht werden.

Darf man einen GTR (grafikfähigen Taschenrechner) verwenden, lassen sich damit die Nullstellen natürlich direkt bestimmen.

Ganzrationale Funktionen

Globalverhalten

Das Globalverhalten einer ganzrationalen Funktion wird nur durch den Grad n und den Leitkoeffizienten a_n bestimmt. Es gilt:

Beispiel: Bestimme das Globalverhalten von f und g: f(x)=−1+x2−3x8, g(x)=2x3−4x+√2

Zu f: n=8, an=−3<0 → für x → ±∞:f(x)→−∞

Zu g: n=3, an=2>0 → für x → ∞:f(x)→∞, für x → −∞:f(x)→−∞