Abiturvorbereitung - Analytische Geometrie - online lernen

Integral

Sachaufgaben

Beliebte Anwendungsaufgaben bei Integralen sind Aufgaben, bei denen eine Änderungsrate (z.B. Zufluss, Abfluss, Geschwindigkeit, Schneefallrate, …) gegeben ist. Möchte man die absolute Größe erhalten, so muss man integrieren.

Beispiel 1)f(t)=−20t3+60t2 gibt die Niederschlagsrate während eines 3 Stunden andauernden Gewitters wieder (t: Zeit in Stunden, f(t) in lm2h). Wie viele lm2 sind in einer Dreiviertelstunde gefallen? Wie viele in den ersten 2 Stunden?

Beispiel 2) v(t)=−9,81⋅t+10 gibt die Geschwindigkeit eines im Vakuum mit 10ms nach oben geworfenen Körpers an (t: Zeit in Sekunden, v(t) in ms ). Welche Höhe hat er nach 0,3s? Wann erreicht der Körper die maximale Höhe und wie groß ist diese? Welche Strecke legt der Körper zurück bis er wieder am Abwurfort ankommt?

Funktionsuntersuchung ln(x)

Beispielaufgabe:

Untersuche die Funktionf(x)=15⋅ln(3−x) auf Achsenschnittpunkte, Extrempunkte, Wendepunkte und Globalverhalten. Zeige, dass f monoton fallend und rechtsgekrümmt ist. Fertige eine Skizze an.

Ableitung der ln-Funktion

Um die Ableitung von g(x)=ln(x) zu bestimmen, brauchen wir als Hilfsmittel den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion:

Für eine Umkehrfunktion g einer differenzierbaren Funktion f mit f′(g(y))≠0, gilt:

g′(y)=1f′(g(y))

Die natürliche Logarithmusfunktion g(x)=ln(x) hat die Umkehrfunktion f(x)=ex. Aus obiger Formel folgt dann:

g′(x)=1f′(ln(x))=1eln(x)=1x

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus g(x)=ln(x) ist also g′(x)=1x.

Funktionsscharen – Sachaufgaben

Beispielaufgabe:

Für k<0 stellt die Funktionsschar fk mit

fk(x)=kx2+(5−2k)x+k−5,x,f(x) in Metern

die Fontänen eines Springbrunnens dar. k hängt dabei vom Wasserdruck ab. Der Springbrunnen ist kreisförmig (r=7m) und die Fontänen starten 1m von der Mitte des Brunnens (y-Achse) entfernt.

Wie muss k gewählt werden, damit die Fontäne höchstens 1m vom Rand des Brunnens entfernt auftrifft? Wie hoch ist dann der höchste Punkt der Fontäne?

Zur Reinigung der Düsen wird der Brunnen mit Überdruck betrieben, sodass das Wasser 25 m hoch spritzt. Wie weit vom Rand des Brunnens entfernt trifft es auf den Boden?

Für welches k ist der höchste Punkt genau über dem Rand des Brunnens?

Abiturprüfung

Produktregel

Funktionen, die aus einem Produkt bestehen, dürfen nicht gliedweise abgeleitet werden – hier benötigt man die Produktregel. Diese besagt:

Ist f(x)=u(x)⋅v(x), dann gilt für die Ableitung
f′(x)=u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)

Merkregel: ableiten⋅stehenlassen+stehenlassen⋅ableiten

Schreibt man die Teilfunktionen und ihre Ableitungen untereinander, werden sie folgendermaßen „über Kreuz“ miteinander verknüpft:

Beweis:

Sei f(x)=u(x)⋅v(x) gegeben. Wir bilden mit dem bekannten Differentialquotienten die Ableitung und versuchen, einen Ausdruck zu erhalten, den wir kennen. Dazu addieren wir im Zähler einen sogenannten Nullterm (pink markiert), also einen Ausdruck, bei dem der gleiche Term addiert und wieder subtrahiert wird, sodass sich der Wert des eigentlichen Terms nicht verändert. Diesen benutzen wir dann, um durch Umordnen und Ausklammern den gesamten Grenzwert in zwei einzelne Grenzwerte aufteilen zu können. Dadurch erhalten wir letztendlich die bekannte Produktregel.

f′(x0)=limh→0f(x0+h)−f(x0)h=limh→0u(x0+h)⋅v(x0+h)−u(x0)⋅v(x0)h=limh→0(1)⏞u(x0+h)⋅v(x0+h)−(2)⏞u(x0)⋅v(x0)+(3)⏞u(x0)⋅v(x0+h)−(4)⏞u(x0)⋅v(x0+h)h=limh→0(1)⏞u(x0+h)⋅v(x0+h)−(4)⏞u(x0)⋅v(x0+h)+(3)⏞u(x0)⋅v(x0+h)−(2)⏞u(x0)⋅v(x0)h=limh→0(u(x0+h)−u(x0))⋅v(x0+h)+u(x0)⋅(v(x0+h)−v(x0))h=limh→0u(x0+h)−u(x0)h⋅v(x0+h)+u(x0)⋅limh→0v(x0+h)−v(x0)h=u′(x0)⋅v(x0)+u(x0)⋅v′(x0)

Beispielaufgabe:
Bestimme die Ableitung folgender Funktionen:
f(x)=x⋅(x2+x);g(x)=x⋅ex;h(x)=x2⋅sin(x);k(x)=√x+1x

Lösung:

• Teile f(x)
  auf in u(x)=x
  und v(x)=(x2+x)
  .
  Bestimme damit u′(x)=1
  und v′(x)=2x+1
  .
  Damit erhält man f′(x)=1⋅(x2+x)+x⋅(2x+1)=x2+x+2x2+x=3x2+2x
  .
• Teile g(x)
  auf in u(x)=x
  und v(x)=ex
  .
  Bestimme damit u′(x)=1
  und v′(x)=ex
  .
  Damit erhält man g′(x)=1⋅ex+x⋅ex=ex(1+x)
• Teile h(x)
  auf in u(x)=x2
  und v(x)=sin(x)
  .
  Bestimme damit u′(x)=2x
  und v′(x)=cos(x)
  .
  Damit erhält man h′(x)=2x⋅sin(x)+x2⋅cos(x)
  .
• Teile k(x)
  auf in u(x)=√x+1=(x+1)12
  und v(x)=x−1
  .
  Bestimme damit u′(x)=12(x+1)−12
  und v′(x)=−x−2
  .
  Damit erhält man k′(x)=12(x+1)−12⋅x−1+√x+1⋅(−x−2)=12x√x+1−√x+1x2
  .
  
  

Abiturprüfung

Kettenregel

Verkettungen von Funktionen werden nach der Kettenregel abgeleitet.

Ist f also eine verkettete Funktion f(x)=u(v(x)), dann gilt
f′(x)=u′(v(x))⋅v′(x)

Merkregel: außen ableiten; innen stehen lassen; mit der inneren Ableitung multiplizieren.

Beweis:

Wir berechnen die Ableitung mit dem bekannten Differentialquotienten. Dabei erweitern wir den Ausdruck mit dem lila markierten Term, um durch Umordnen den gesamten Grenzwert in zwei einzelne Grenzwerten aufteilen zu können. Diese entsprechen dann den uns bekannten Differentialquotienten. 

f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0=limx→x0u(v(x))−u(v(x0))x−x0|Erweitern mit (v(x)−v(x0))=limx→x0(u(v(x))−u(v(x0)))⋅(v(x)−v(x0))(x−x0)⋅(v(x)−v(x0))=limx→x0(u(v(x))−u(v(x0)))⋅(v(x)−v(x0))(v(x)−v(x0))⋅(x−x0)=limx→x0u(v(x))−u(v(x0))v(x)−v(x0)⋅limx→x0v(x)−v(x0)x−x0=u′(v(x0))⋅v′(x0)

Beispielaufgabe:

Bestimme die Ableitung folgender Funktionen:

f(x)=(3x+1)9;g(x)=√1−x;h(x)=sin(3x2);k(x)=e3x2−2x

Lösung:

• Teile f(x)
  auf in u(x)=x9
  und v(x)=3x+1
  .
  Bestimme damit u′(x)=9x8
  und v′(x)=3
  .
  Also erhält man f′(x)=9⋅(3x+1)8⋅3=27⋅(3x+1)8
  .
• Teile g(x)
  auf in u(x)=√x
  und v(x)=1−x
  .
  Bestimme damit u′(x)=12√x
  und v′(x)=−1
  .
  Also erhält man g′(x)=12√1−x⋅(−1)=−12√1−x
  .
• Teile h(x)
  auf in u(x)=sin(x)
  und v(x)=3x2
  .
  Bestimme damit u′(x)=cos(x)
  und v′(x)=6x
  .
  Also erhält man f′(x)=cos(3x2)⋅6x
  .
• Teile k(x)
  auf in u(x)=ex
  und v(x)=3x2−2x
  .
  Bestimme damit u′(x)=ex
  und v′(x)=6x−2
  .
  Also erhält man f′(x)=e3x2−2x⋅(6x−2)
  .

Ableitung

Quotientenregel

Besteht eine Funktion aus einem Quotienten zweier Funktionen, so bildet sich die Ableitung mittels der Quotientenregel:

f(x)=u(x)x(x)→f′(x)=u′(x)⋅v(x)−u(x)⋅v′(x)v(x)2

Schreibt man die Teilfunktionen und ihre Ableitungen untereinander, werden sie im Zähler folgendermaßen „über Kreuz“ miteinander verknüpft:

Beweis:

Wir benutzen die Ketten- und Produktregel.

f(x)=u(x)v(x)=u(x)⋅v(x)−1

f′(x)=Produktregel für f(x)⏞u′(x)⋅v(x)−1+u(x)⋅(−1)⋅v(x)−2⋅v′(x)⏟Kettenregel für v(x)−1=u′(x)v(x)−u(x)⋅v′(x)v(x)2| Beide Brüche auf Hauptnenner bringen=u′(x)⋅v(x)−u(x)⋅v′(x)v(x)2

Beispielaufgabe:

Bestimme die Ableitung folgender Funktionen:

f(x)=xx2+1,g(x)=sin(x)x,h(x)=√x1−x,k(x)=exx2

Lösung:

• Teile f(x)
  auf in u(x)=x
  und v(x)=x2+1
  .
  Bestimme damit u′(x)=1
  und v′(x)=2x
  .
  Damit erhält man f′(x)=1⋅(x2+1)−x⋅2x(x2+1)2=x2+1−2x2(x2+1)2=1−x2(x2+1)2
  .
• Teile g(x)
  auf in u(x)=sin(x)
  und v(x)=x
  .
  Bestimme damit u′(x)=cos(x)
  und v′(x)=1
  .
  Damit erhält man g′(x)=cos(x)⋅x−sin(x)⋅1x2=xcos(x)−sin(x)x2
  .
• Teile h(x)
  auf in u(x)=√x
  und v(x)=1−x
  .
  Bestimme damit u′(x)=12√x
  und v′(x)=−1
  .
  Damit erhält man h′(x)=12√x⋅(1−x)−√x⋅(−1)(1−x)2=1−x2√x+√x(1−x)2=1−x+2x2√x(1−x)2=1+x2√x(1−x)2
  .
• Teile k(x)
  auf in u(x)=ex
  und v(x)=x2
  .
  Bestimme damit u′(x)=ex
  und v′(x)=2x
  .
  Damit erhält man k′(x)=ex⋅x2−ex⋅2xx4=xex(x−2)x4=ex⋅x−2x3
  .

Ableitung der e-Funktion

Beweis

Für die e–Funktion gilt:

f(x)=ex⟹f′(x)=ex

Zum Beweis erinnern wir uns an die Definition der Zahl e

e:=limn→∞(1+1n)n

Der Differentialquotient lautet

f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→0ex+h−exh=ex⋅limh→0eh−1h

Wir substituieren nun eh−1=1t⟹h=ln(1+1t)

Soll nun h→0

limh→0eh−1h=limt→∞eln(1+1t)−1ln(1+1t)|Logarithmusregeln anwenden: eln(x)=x=limt→∞1+1t−1ln(1+1t)|Zusammenfassen=limt→∞1tln(1+1t)|t in Nenner ziehen=limt→∞1t⋅ln(1+1t)|Logarithmusregeln anwenden: x⋅lna=lnax=limt→∞1ln((1+1t)t)|Grenzwerte einzeln berechnen=limt→∞1ln(limt→∞(1+1t)t)|Definition der e-Funktion benutzen=1ln(e)=1|da ln(e)=1

Insgesamt gilt also:

f′(x)=limh→0ex+h−exh=ex⋅limh→0eh−1h=ex⋅1=ex

Partialbruchzerlegung (PBZ)

Wir haben eine gebrochenrationale Funktion f(x)=p(x)q(x),q(x)≠0

Ziel ist es, einen Ansatz zu finden, der f

Vorgehen:

1. Bestimmung der Nullstellen xi
   des Nennerpolynoms q(x)
   .
2. Ist die Nullstelle xi
   einfach, erhält der Ansatz den Summanden Ax−xi
   ;
   ist die Nullstelle xi
   n
   -fach: A1x−xi+A2(x−xi)2+ ... +An(x−xi)n
3. Ansatz mit der Funktion gleichsetzen; mit dem Nennerpolynom durchmultiplizieren und einen Koeffizientenvergleich durchführen.
4. Integration der Zerlegungsfunktion

Beispielaufgaben:

a) Berechne ∫2x−4x2−2x−8 dx

Lösung:

1. Nullstellen von q(x)=x2−2x−8⟹pq-Formelx1=−2;x2=4
   (jew. einfach)
2. Ansatz: f(x)=Ax−4+Bx+2
3. Ax−4+Bx+2=2x−4x2−2x−8⇒A(x+2)+B(x−4)=2x−4
   
   ⇒(A+B)x+2A−4B=2x−4⇒|A+B=22A−4B=−4|⇒A=23;B=43
   
   ⇒f(x)=23x−4+43x+2
4. ∫23⋅1x−4+43⋅1x+2 dx=23ln(|x−4|)+43ln(|x+2|)

b) Berechne ∫2x−1(x−1)2 dx

Lösung:

1. Doppelte Nullstelle x1=1
2. Ansatz: f(x)=Ax−1+B(x−1)2
3. Ax−1+B(x−1)2=2x−1(x−1)2⇒A(x−1)+B=2x−1
   
   ⇒Ax−A+B=2x−1
   
   ⇒A=2;−A+B=−1⇒B=1
   
   ⇒f(x)=2x−1+1(x−1)2
4. ∫2x−1+1(x−1)2 dx=2ln(|x−1|)−1x−1

Ableitung der e-Funktion

Beispiele

Unter Berücksichtigung von f(x)=ex⇒f′(x)=ex und der Kettenregel können wir auch die allgemeine Exponentialfunktion

f(x)=a⋅ek(x−c)+d;a,k,c,d∈R

ableiten. Es gilt:

f′(x)=a⋅k⋅ek(x−c);f″(x)=a⋅k2⋅ek(x−c)

Beispielaufgabe:

Berechne die Ableitung folgender Funktionen:

f(x)=e−x+1;g(x)=3e2x+2;h(x)=5ex;i(x)=9−e1−2x,

j(x)=x2ex;k(x)=(3x+1)⋅e2x;l(x)=xex

Lösung:

f′(x)=−e−x

g′(x)=3⋅2⋅e2x+2=6e2x+2

h(x)=5⋅e−x⇒h′(x)=5⋅(−1)⋅e−x=−5e−x

i′(x)=−1⋅(−2)⋅e1−2x=2e(1−2x)

j,k und l werden zusätzlich mit der Produktregel gelöst:

j′(x)=2xex+x2ex=xex(2+x)

k′(x)=3e2x+(3x+1)⋅2⋅e2x=e2x(3+(3x+1)⋅2)=e2x(5+6x)

l(x)=xe−x⇒l′(x)=e−x+x⋅(−1)⋅e−x=e−x(1−x)

Ableitung der e-Funktion

Beispiele

Unter Berücksichtigung von f(x)=ex⇒f′(x)=ex und der Kettenregel können wir auch die allgemeine Exponentialfunktion

f(x)=a⋅ek(x−c)+d;a,k,c,d∈R

ableiten. Es gilt:

f′(x)=a⋅k⋅ek(x−c);f″(x)=a⋅k2⋅ek(x−c)

Beispielaufgabe:

Berechne die Ableitung folgender Funktionen:

f(x)=e−x+1;g(x)=3e2x+2;h(x)=5ex;i(x)=9−e1−2x,

j(x)=x2ex;k(x)=(3x+1)⋅e2x;l(x)=xex

Lösung:

f′(x)=−e−x

g′(x)=3⋅2⋅e2x+2=6e2x+2

h(x)=5⋅e−x⇒h′(x)=5⋅(−1)⋅e−x=−5e−x

i′(x)=−1⋅(−2)⋅e1−2x=2e(1−2x)

j,k und l werden zusätzlich mit der Produktregel gelöst:

j′(x)=2xex+x2ex=xex(2+x)

k′(x)=3e2x+(3x+1)⋅2⋅e2x=e2x(3+(3x+1)⋅2)=e2x(5+6x)

l(x)=xe−x⇒l′(x)=e−x+x⋅(−1)⋅e−x=e−x(1−x)

Differenzierbarkeit am Graph erkennen

Ob eine Funktion an einer Stelle differenzierbar ist oder nicht, kann man manchmal am Graphen erkennen.

Hat eine Funktion z.B. einen „Knick“, einen „Sprung“ oder einen eingeschränkten Definitionsbereich, so muss sie nicht überall differenzierbar sein.

Beispiele:

Definitionslücken

Gebrochenrationale Funktionen f(x)=p(x)q(x)

xi

Man findet sie also, indem man den Nenner mit Null gleichsetzt.

Es gibt zwei Arten von Definitionslücken: Polstellen und hebbare Definitionslücken.

Bei einer hebbaren Lücke xi

Bei einer Polstelle xi

Beispielaufgabe:

Bestimme die Definitionslücken und ihre Art.

a) f(x)=2x2+x−1(x−1)(x+4)

Lösung:

Nullstellen des Nenners q(x)