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Abiturprüfung

Abiturvorbereitung - Analytische Geometrie - online lernen

Hier findest du Materialen zur Vorbereitung auf deine Abiturprüfung – Analysis

Wiki zum Thema: Abiturprüfung

Integral

Sachaufgaben


Beliebte Anwendungsaufgaben bei Integralen sind Aufgaben, bei denen eine Änderungsrate (z.B. Zufluss, Abfluss, Geschwindigkeit, Schneefallrate, …) gegeben ist. Möchte man die absolute Größe erhalten, so muss man integrieren.

Beispiel 1)f(t)=−20t3+60t2 gibt die Niederschlagsrate während eines 3 Stunden andauernden Gewitters wieder (t: Zeit in Stunden, f(t) in lm2h). Wie viele lm2 sind in einer Dreiviertelstunde gefallen? Wie viele in den ersten 2 Stunden?

Lösung:

∫0,750f(t)dt≈6,86,∫200f(t)dt=80

In der ersten Dreiviertelstunde sind etwa 6,86lm2 gefallen, in den ersten 2 Stunden 80lm2 .

Beispiel 2) v(t)=−9,81⋅t+10 gibt die Geschwindigkeit eines im Vakuum mit 10ms nach oben geworfenen Körpers an (t: Zeit in Sekunden, v(t) in ms ). Welche Höhe hat er nach 0,3s? Wann erreicht der Körper die maximale Höhe und wie groß ist diese? Welche Strecke legt der Körper zurück bis er wieder am Abwurfort ankommt?

Lösung:

s(0,3)=∫0,30v(t)dt≈2,55m

Bei maximaler Höhe gilt v(t)=0→0=−9,81t+10→t≈1,02s

s(1,02)=∫1,020v(t)dt≈5,1m

Nach 0,3shat der Körper eine Höhe von etwa 2,55m. Die maximale Höhe beträgt ca. 5,1m und wird nach etwa 1,02s erreicht. Insgesamt legt der Körper also eine Strecke von 10,2m auf seiner Flugbahn zurück.

Funktionsuntersuchung ln(x)


Beispielaufgabe:

Untersuche die Funktionf(x)=15⋅ln(3−x) auf Achsenschnittpunkte, Extrempunkte, Wendepunkte und Globalverhalten. Zeige, dass f monoton fallend und rechtsgekrümmt ist. Fertige eine Skizze an.


Ableitung der ln-Funktion


Um die Ableitung von g(x)=ln(x) zu bestimmen, brauchen wir als Hilfsmittel den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion:

Für eine Umkehrfunktion g einer differenzierbaren Funktion f mit f′(g(y))≠0, gilt:

g′(y)=1f′(g(y))

Die natürliche Logarithmusfunktion g(x)=ln(x) hat die Umkehrfunktion f(x)=ex. Aus obiger Formel folgt dann:

g′(x)=1f′(ln(x))=1eln(x)=1x

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus g(x)=ln(x) ist also g′(x)=1x.

Funktionsscharen – Sachaufgaben


Beispielaufgabe:

Für k<0 stellt die Funktionsschar fk mit

fk(x)=kx2+(5−2k)x+k−5,x,f(x) in Metern

die Fontänen eines Springbrunnens dar. k hängt dabei vom Wasserdruck ab. Der Springbrunnen ist kreisförmig (r=7m) und die Fontänen starten 1m von der Mitte des Brunnens (y-Achse) entfernt.

Wie muss k gewählt werden, damit die Fontäne höchstens 1m vom Rand des Brunnens entfernt auftrifft? Wie hoch ist dann der höchste Punkt der Fontäne?

Zur Reinigung der Düsen wird der Brunnen mit Überdruck betrieben, sodass das Wasser 25 m hoch spritzt. Wie weit vom Rand des Brunnens entfernt trifft es auf den Boden?

Für welches k ist der höchste Punkt genau über dem Rand des Brunnens?

Lösung:1m vom Rand entspricht der Nullstelle x=6:

fk(6)=0⇒0=k⋅62+(5−2k)⋅6+k−5⇒...⇒k=−1

Für k≤−1 trifft der Strahl mindestens 1m vom Rand des Brunnens auf.

Hochpunkt von f−1(x) mit GTR: H(3,5/6,25). Max. Höhe: 6,25m.

Hochpunkt von fk(x):f′k(x)=0,(f″k(x)=2k≠0)

0=2kx+5−2k⇔x=2k−52k⇒fk(2k−52k)=−254k⇒H(2k−t2k,−254k)

Es muss yH=25 gelten: −254k=25⇒k=−14

f−14(x)=0GTR→x=21

Das Wasser trifft 14 m vom Rand des Brunnens entfernt auf.

xH=7⇒7=2k−52k⇒a=−512

Der höchste Punkt der Fontäne ist für k=−512 direkt über dem Rand des Brunnens.

Abiturprüfung

Produktregel


Funktionen, die aus einem Produkt bestehen, dürfen nicht gliedweise abgeleitet werden – hier benötigt man die Produktregel. Diese besagt:

Ist f(x)=u(x)⋅v(x), dann gilt für die Ableitung
f′(x)=u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)

Merkregel: ableiten⋅stehenlassen+stehenlassen⋅ableiten

Schreibt man die Teilfunktionen und ihre Ableitungen untereinander, werden sie folgendermaßen „über Kreuz“ miteinander verknüpft:


Beweis:

Sei f(x)=u(x)⋅v(x) gegeben. Wir bilden mit dem bekannten Differentialquotienten die Ableitung und versuchen, einen Ausdruck zu erhalten, den wir kennen. Dazu addieren wir im Zähler einen sogenannten Nullterm (pink markiert), also einen Ausdruck, bei dem der gleiche Term addiert und wieder subtrahiert wird, sodass sich der Wert des eigentlichen Terms nicht verändert. Diesen benutzen wir dann, um durch Umordnen und Ausklammern den gesamten Grenzwert in zwei einzelne Grenzwerte aufteilen zu können. Dadurch erhalten wir letztendlich die bekannte Produktregel.

f′(x0)=limh→0f(x0+h)−f(x0)h=limh→0u(x0+h)⋅v(x0+h)−u(x0)⋅v(x0)h=limh→0(1)⏞u(x0+h)⋅v(x0+h)−(2)⏞u(x0)⋅v(x0)+(3)⏞u(x0)⋅v(x0+h)−(4)⏞u(x0)⋅v(x0+h)h=limh→0(1)⏞u(x0+h)⋅v(x0+h)−(4)⏞u(x0)⋅v(x0+h)+(3)⏞u(x0)⋅v(x0+h)−(2)⏞u(x0)⋅v(x0)h=limh→0(u(x0+h)−u(x0))⋅v(x0+h)+u(x0)⋅(v(x0+h)−v(x0))h=limh→0u(x0+h)−u(x0)h⋅v(x0+h)+u(x0)⋅limh→0v(x0+h)−v(x0)h=u′(x0)⋅v(x0)+u(x0)⋅v′(x0)


Beispielaufgabe:
Bestimme die Ableitung folgender Funktionen:
f(x)=x⋅(x2+x);g(x)=x⋅ex;h(x)=x2⋅sin(x);k(x)=√x+1x

Lösung:

  • Teile f(x)
    auf in u(x)=x
    und v(x)=(x2+x)
    .
    Bestimme damit u′(x)=1
    und v′(x)=2x+1
    .
    Damit erhält man f′(x)=1⋅(x2+x)+x⋅(2x+1)=x2+x+2x2+x=3x2+2x
    .
  • Teile g(x)
    auf in u(x)=x
    und v(x)=ex
    .
    Bestimme damit u′(x)=1
    und v′(x)=ex
    .
    Damit erhält man g′(x)=1⋅ex+x⋅ex=ex(1+x)
  • Teile h(x)
    auf in u(x)=x2
    und v(x)=sin(x)
    .
    Bestimme damit u′(x)=2x
    und v′(x)=cos(x)
    .
    Damit erhält man h′(x)=2x⋅sin(x)+x2⋅cos(x)
    .
  • Teile k(x)
    auf in u(x)=√x+1=(x+1)12
    und v(x)=x−1
    .
    Bestimme damit u′(x)=12(x+1)−12
    und v′(x)=−x−2
    .
    Damit erhält man k′(x)=12(x+1)−12⋅x−1+√x+1⋅(−x−2)=12x√x+1−√x+1x2
    .

Abiturprüfung

Kettenregel


Verkettungen von Funktionen werden nach der Kettenregel abgeleitet.

Ist f also eine verkettete Funktion f(x)=u(v(x)), dann gilt
f′(x)=u′(v(x))⋅v′(x)

Merkregel: außen ableiten; innen stehen lassen; mit der inneren Ableitung multiplizieren.


Beweis:

Wir berechnen die Ableitung mit dem bekannten Differentialquotienten. Dabei erweitern wir den Ausdruck mit dem lila markierten Term, um durch Umordnen den gesamten Grenzwert in zwei einzelne Grenzwerten aufteilen zu können. Diese entsprechen dann den uns bekannten Differentialquotienten. 

f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0=limx→x0u(v(x))−u(v(x0))x−x0|Erweitern mit (v(x)−v(x0))=limx→x0(u(v(x))−u(v(x0)))⋅(v(x)−v(x0))(x−x0)⋅(v(x)−v(x0))=limx→x0(u(v(x))−u(v(x0)))⋅(v(x)−v(x0))(v(x)−v(x0))⋅(x−x0)=limx→x0u(v(x))−u(v(x0))v(x)−v(x0)⋅limx→x0v(x)−v(x0)x−x0=u′(v(x0))⋅v′(x0)


Beispielaufgabe:

Bestimme die Ableitung folgender Funktionen:

f(x)=(3x+1)9;g(x)=√1−x;h(x)=sin(3x2);k(x)=e3x2−2x

Lösung:

  • Teile f(x)
    auf in u(x)=x9
    und v(x)=3x+1
    .
    Bestimme damit u′(x)=9x8
    und v′(x)=3
    .
    Also erhält man f′(x)=9⋅(3x+1)8⋅3=27⋅(3x+1)8
    .
  • Teile g(x)
    auf in u(x)=√x
    und v(x)=1−x
    .
    Bestimme damit u′(x)=12√x
    und v′(x)=−1
    .
    Also erhält man g′(x)=12√1−x⋅(−1)=−12√1−x
    .
  • Teile h(x)
    auf in u(x)=sin(x)
    und v(x)=3x2
    .
    Bestimme damit u′(x)=cos(x)
    und v′(x)=6x
    .
    Also erhält man f′(x)=cos(3x2)⋅6x
    .
  • Teile k(x)
    auf in u(x)=ex
    und v(x)=3x2−2x
    .
    Bestimme damit u′(x)=ex
    und v′(x)=6x−2
    .
    Also erhält man f′(x)=e3x2−2x⋅(6x−2)
    .


Ableitung

Quotientenregel


Besteht eine Funktion aus einem Quotienten zweier Funktionen, so bildet sich die Ableitung mittels der Quotientenregel:

f(x)=u(x)x(x)→f′(x)=u′(x)⋅v(x)−u(x)⋅v′(x)v(x)2

Schreibt man die Teilfunktionen und ihre Ableitungen untereinander, werden sie im Zähler folgendermaßen „über Kreuz“ miteinander verknüpft:



Beweis:

Wir benutzen die Ketten- und Produktregel.

f(x)=u(x)v(x)=u(x)⋅v(x)−1

f′(x)=Produktregel für f(x)⏞u′(x)⋅v(x)−1+u(x)⋅(−1)⋅v(x)−2⋅v′(x)⏟Kettenregel für v(x)−1=u′(x)v(x)−u(x)⋅v′(x)v(x)2| Beide Brüche auf Hauptnenner bringen=u′(x)⋅v(x)−u(x)⋅v′(x)v(x)2


Beispielaufgabe:

Bestimme die Ableitung folgender Funktionen:

f(x)=xx2+1,g(x)=sin(x)x,h(x)=√x1−x,k(x)=exx2

Lösung:

  • Teile f(x)
    auf in u(x)=x
    und v(x)=x2+1
    .
    Bestimme damit u′(x)=1
    und v′(x)=2x
    .
    Damit erhält man f′(x)=1⋅(x2+1)−x⋅2x(x2+1)2=x2+1−2x2(x2+1)2=1−x2(x2+1)2
    .
  • Teile g(x)
    auf in u(x)=sin(x)
    und v(x)=x
    .
    Bestimme damit u′(x)=cos(x)
    und v′(x)=1
    .
    Damit erhält man g′(x)=cos(x)⋅x−sin(x)⋅1x2=xcos(x)−sin(x)x2
    .
  • Teile h(x)
    auf in u(x)=√x
    und v(x)=1−x
    .
    Bestimme damit u′(x)=12√x
    und v′(x)=−1
    .
    Damit erhält man h′(x)=12√x⋅(1−x)−√x⋅(−1)(1−x)2=1−x2√x+√x(1−x)2=1−x+2x2√x(1−x)2=1+x2√x(1−x)2
    .
  • Teile k(x)
    auf in u(x)=ex
    und v(x)=x2
    .
    Bestimme damit u′(x)=ex
    und v′(x)=2x
    .
    Damit erhält man k′(x)=ex⋅x2−ex⋅2xx4=xex(x−2)x4=ex⋅x−2x3
    .

Ableitung der e-Funktion

Beweis


Für die e–Funktion gilt:

f(x)=ex⟹f′(x)=ex

Zum Beweis erinnern wir uns an die Definition der Zahl e

:

e:=limn→∞(1+1n)n

Der Differentialquotient lautet

f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→0ex+h−exh=ex⋅limh→0eh−1h

Wir substituieren nun eh−1=1t⟹h=ln(1+1t)

.

Soll nun h→0

gehen, so muss ln(1+1t)→0
gehen.
Da nur ln(1)=0
gilt, muss also (1+1t)→1⇒t→∞
gehen. 

limh→0eh−1h=limt→∞eln(1+1t)−1ln(1+1t)|Logarithmusregeln anwenden: eln(x)=x=limt→∞1+1t−1ln(1+1t)|Zusammenfassen=limt→∞1tln(1+1t)|t in Nenner ziehen=limt→∞1t⋅ln(1+1t)|Logarithmusregeln anwenden: x⋅lna=lnax=limt→∞1ln((1+1t)t)|Grenzwerte einzeln berechnen=limt→∞1ln(limt→∞(1+1t)t)|Definition der e-Funktion benutzen=1ln(e)=1|da ln(e)=1

Insgesamt gilt also:

f′(x)=limh→0ex+h−exh=ex⋅limh→0eh−1h=ex⋅1=ex

Partialbruchzerlegung (PBZ)

Wir haben eine gebrochenrationale Funktion f(x)=p(x)q(x),q(x)≠0

gegeben,
bei der der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist.

Ziel ist es, einen Ansatz zu finden, der f

in eine Summe zerlegt, die wir integrieren können.


Vorgehen:

  1. Bestimmung der Nullstellen xi
    des Nennerpolynoms q(x)
    .
  2. Ist die Nullstelle xi
    einfach, erhält der Ansatz den Summanden Ax−xi
    ;
    ist die Nullstelle xi
    n
    -fach: A1x−xi+A2(x−xi)2+ ... +An(x−xi)n
  3. Ansatz mit der Funktion gleichsetzen; mit dem Nennerpolynom durchmultiplizieren und einen Koeffizientenvergleich durchführen.
  4. Integration der Zerlegungsfunktion


Beispielaufgaben:

a) Berechne ∫2x−4x2−2x−8 dx

.

Lösung:

  1. Nullstellen von q(x)=x2−2x−8⟹pq-Formelx1=−2;x2=4
    (jew. einfach)
  2. Ansatz: f(x)=Ax−4+Bx+2
  3. Ax−4+Bx+2=2x−4x2−2x−8⇒A(x+2)+B(x−4)=2x−4

    ⇒(A+B)x+2A−4B=2x−4⇒|A+B=22A−4B=−4|⇒A=23;B=43

    ⇒f(x)=23x−4+43x+2
  4. ∫23⋅1x−4+43⋅1x+2 dx=23ln(|x−4|)+43ln(|x+2|)


b) Berechne ∫2x−1(x−1)2 dx

.

Lösung:

  1. Doppelte Nullstelle x1=1
  2. Ansatz: f(x)=Ax−1+B(x−1)2
  3. Ax−1+B(x−1)2=2x−1(x−1)2⇒A(x−1)+B=2x−1

    ⇒Ax−A+B=2x−1

    ⇒A=2;−A+B=−1⇒B=1

    ⇒f(x)=2x−1+1(x−1)2
  4. ∫2x−1+1(x−1)2 dx=2ln(|x−1|)−1x−1

Ableitung der e-Funktion

Beispiele

Unter Berücksichtigung von f(x)=ex⇒f′(x)=ex und der Kettenregel können wir auch die allgemeine Exponentialfunktion

f(x)=a⋅ek(x−c)+d;a,k,c,d∈R

ableiten. Es gilt:

f′(x)=a⋅k⋅ek(x−c);f″(x)=a⋅k2⋅ek(x−c)


Beispielaufgabe:

Berechne die Ableitung folgender Funktionen:

f(x)=e−x+1;g(x)=3e2x+2;h(x)=5ex;i(x)=9−e1−2x,

j(x)=x2ex;k(x)=(3x+1)⋅e2x;l(x)=xex

Lösung:

f′(x)=−e−x

g′(x)=3⋅2⋅e2x+2=6e2x+2

h(x)=5⋅e−x⇒h′(x)=5⋅(−1)⋅e−x=−5e−x

i′(x)=−1⋅(−2)⋅e1−2x=2e(1−2x)

j,k und l werden zusätzlich mit der Produktregel gelöst:

j′(x)=2xex+x2ex=xex(2+x)

k′(x)=3e2x+(3x+1)⋅2⋅e2x=e2x(3+(3x+1)⋅2)=e2x(5+6x)

l(x)=xe−x⇒l′(x)=e−x+x⋅(−1)⋅e−x=e−x(1−x)

Ableitung der e-Funktion

Beispiele

Unter Berücksichtigung von f(x)=ex⇒f′(x)=ex und der Kettenregel können wir auch die allgemeine Exponentialfunktion

f(x)=a⋅ek(x−c)+d;a,k,c,d∈R

ableiten. Es gilt:

f′(x)=a⋅k⋅ek(x−c);f″(x)=a⋅k2⋅ek(x−c)


Beispielaufgabe:

Berechne die Ableitung folgender Funktionen:

f(x)=e−x+1;g(x)=3e2x+2;h(x)=5ex;i(x)=9−e1−2x,

j(x)=x2ex;k(x)=(3x+1)⋅e2x;l(x)=xex

Lösung:

f′(x)=−e−x

g′(x)=3⋅2⋅e2x+2=6e2x+2

h(x)=5⋅e−x⇒h′(x)=5⋅(−1)⋅e−x=−5e−x

i′(x)=−1⋅(−2)⋅e1−2x=2e(1−2x)

j,k und l werden zusätzlich mit der Produktregel gelöst:

j′(x)=2xex+x2ex=xex(2+x)

k′(x)=3e2x+(3x+1)⋅2⋅e2x=e2x(3+(3x+1)⋅2)=e2x(5+6x)

l(x)=xe−x⇒l′(x)=e−x+x⋅(−1)⋅e−x=e−x(1−x)

Differenzierbarkeit am Graph erkennen


Ob eine Funktion an einer Stelle differenzierbar ist oder nicht, kann man manchmal am Graphen erkennen.

Hat eine Funktion z.B. einen „Knick“, einen „Sprung“ oder einen eingeschränkten Definitionsbereich, so muss sie nicht überall differenzierbar sein.


Beispiele:

Die Betragsfunktion f(x)=|x|={−x;x≥0−x;x<0

hat einen Knick bei x=0. Anschaulich kann dort keine eindeutige Tangente angelegt werden. Im Negativen lässt sich die Steigung −1

ablesen, im Positiven jedoch 1
. Rechnerisch gilt, dass der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert nicht übereinstimmen. Es existiert also kein Grenzwert.

f′+(0)=limx→0+|x|−0x−0=limx→0+x−0x−0=1

f′−(0)=limx→0−|x|−0x−0=limx→0−−x−0x−0=−1


Die Heavyside-Funktion Θ(x)={0;x<01;x≤0

hat bei x=0 einen Sprung. Der linksseitige Grenzwert ist 0, der rechtsseitige 1.

⇒Θ(x) ist damit in x=0 nicht differenzierbar.


Bei der Wurzelfunktion f(x)=√x gilt für den Grenzwert bei x=0:

f′(0)=limx→0√x−0x−0=limx→0√xx=limx→01√x→∞

Der Grenzwert existiert nicht, also ist f

in x=0
 nicht differenzierbar. Der Graph hat dort eine senkrechte Tangente.

Definitionslücken


Gebrochenrationale Funktionen f(x)=p(x)q(x)

können Definitionslücken aufweisen. Definitionslücken sind Stellen, die nicht im Definitionsbereich enthalten sind, weil der Nenner q(x)
dafür Null werden würde:

xi

ist Definitionslücke von f(x)⇔q(xi)=0

Man findet sie also, indem man den Nenner mit Null gleichsetzt.

Es gibt zwei Arten von Definitionslücken: Polstellen und hebbare Definitionslücken.

Bei einer hebbaren Lücke xi

ist zusätzlich zum Nenner auch der Zähler 0 und die Lücke wird zum „Loch“.

Bei einer Polstelle xi

ist der Zähler ungleich 0.

Beispielaufgabe:

Bestimme die Definitionslücken und ihre Art.

a) f(x)=2x2+x−1(x−1)(x+4)

Lösung:

Nullstellen des Nenners q(x)

sind x1=1
und x2=−4
.

p(1)=2⋅12+1−1=2≠0,

p(−4)=2⋅(−4)2−4−1=27≠0

x1=1

und x2=−4
sind Polstellen.

b) g(x)=x2+6x+9x2−2x−15

Lösung:

q(x)=0⇒+x2−2x−15=0⟹pq−Formelx1=−3;x2=5

p(−3)=(−3)2+6⋅(−3)+9=9−18+9=0,

p(5)=52+6⋅5+9=64≠0

x1=−3

ist hebbare Lücke, x2=5
ist Polstelle.

Gebrochenrationale Funktionen

Globalverlauf, Asymptoten


Eine gebrochenrationale Funktion f(x)

ist eine Funktion, die sich als Quotient zweier Polynome p(x)
und q(x)
schreiben lässt:

f(x)=p(x)q(x)=azxz+az−1xz−1+...+a1x+a0bnxn+bn−1xn−1+...+b1x+b0

z

und n
stehen dabei für den Zähler- bzw. Nennergrad.

Eine Asymptote ist eine Funktion, derer sich die zu untersuchenden Funktion annähert, wenn die Funktionsvariable x

sehr große Werte ±∞
annimmt.

z

und n
  entscheiden über das Globalverhalten der gebrochenrationalen Funktion.

Es gilt:

  • z<n:
    limx→±∞f(x)=0
    , d.h. y=0
    ist waagerechte Asymptote
  • z=n:
    limx→±∞f(x)=azbn
    , d.h. y=azbn
    ist waagerechte Asymptote
  • z>n:
    limx→±∞f(x)=±∞
    , wobei das Vorzeichen von azbn
    gilt.

Im Fall z>n

für x→−∞
muss man die Differenz z−n
genauer betrachten:

  • z−n
    gerade: es gilt dasselbe Globalverhalten wie bei x→∞
  • z−n
    ungerade: Das Vorzeichen ist entgegensetzt zu x→∞


Beispielaufgabe:

Bestimme das Globalverhalten und, falls vorhanden, die Asymptoten folgender Funktionen:

a) f(x)=3x4−1+x54x5−17

Lösung:
z=5;n=5;azbn=14


Für x→±∞:f(x)→14⇒
waagerechte Asymptote y=14

b) g(x)=2−4x+3x311x7+2x4−3

Lösung:
z=3;n=7


Für x→±∞:g(x)→0⇒
waagerechte Asymptote y=0

c) h(x)=x6+3x−3x2+2

Lösung:
z=6;n=2;z−n=4;azbn=1


für x→±∞:h(x)→∞

Integration

Ganzrationale Substitution


Findet man durch die uns bekannten Wege bei einer Funktion keine Stammfunktion, gibt es eine Integrationsmethode, wodurch man durch Substitution (Ersetzen) eine Stammfunktion finden kann.


Beispielaufgabe:

Bestimme das Integral ∫21(2x−4)5dx


Lösung:

Da es relativ mühsam ist, die Potenz auszurechnen, ersetzt man das Innere der Klammer durch eine frei gewählte Variable, hier u

.

u=2x−4

Auch das dx

muss substituiert werden. Hierzu bilden wir die Ableitung u′=dudx
:

dudx=2|⋅dxdu=2dx|÷2fracdu2=dx

Zum Schluss ersetzen wir unsere bisherigen Integrationsgrenzen, indem wir sie in u=2x−4

einsetzen.

Untere Grenze: u(1)=2⋅1−4=−2

,
Obere Grenze: u(2)=2⋅2−4=0

Wenn wir alles ersetzen, dann erhalten wir:

∫21(2x−5)5dx⟹Substitution∫0−2u5du2

Dann integrieren wir, wie bekannt:

∫0−2u5du2=∫0−212u5du=[112u6]0−2=112⋅06−(112⋅(−2)6)=−6412=−163

Die natürliche Exponentialfunktion

Die Funktion f(x)=ex, mit der Eulerschen Zahl e≈2,71828, heißt natürliche Exponentialfunktion oder auch e-Funktion. Die e-Funktion wächst schneller als jedes Polynom q(x)!

Für x→∞:exq(x)→∞

und q(x)ex→0.

Man sagt auch, die e-Funktion dominiert die ganzrationalen Funktionen.


Skizze:

Eigenschaften:Bedeutung:

Der Definitionsbereich ist Df=R.

Alle reellen Zahlen dürfen eingesetzt werden.

Der Wertebereich ist Wf=(0;∞).

f(x)>0,f hat keine Nullstelle; ist immer positiv

f ist streng monoton steigend.

f′(x)>0,f′ hat keine Nullstelle; ist immer positiv

f ist stets linksgekrümmt.

f″(x)>0,f″ hat keine Nullstelle; ist immer positiv

Für x→∞:f(x)→∞,
für x→−∞:f(x)→0

Wenn x größer wird, wird f(x) größer.
Wird x kleiner, geht f(x) gegen 0.

f(0)=1

Der Punkt (0|1) liegt auf dem Graphen von f .

F(x)=ex,f′(x)=ex,f″(x)=ex,...

Ableitungen und mögliche Stammfunktionen bleiben ex.

f ist Umkehrfunktion von ln(x)

f(g(x))=eln(x)=x;g(f(x))=ln(ex)=x

Der natürliche Logarithmus

Die Funktion f(x)=ln(x)=loge(x), mit der Eulerschen Zahl e≈2,71828, heißt Logarithmus Naturalis oder einfach natürlicher Logarithmus. Der natürliche Logarithmus wächst langsamer als jedes Polynom q(x)!

D.h. für x→∞:ln(x)q(x)→0 und q(x)ln(x)→∞.


Skizze:

Eigenschaften:Bedeutung:

Der Definitionsbereich ist Df=R+∖{0}.

Es dürfen nur (echt) positive, reelle Zahlen eingesetzt werden.

Der Wertebereich ist Wf=R.

Alle reellen Zahlen werden als Funktionswert erreicht.

f ist streng monoton steigend.

f′(x)>0,f′ hat keine Nullstelle; ist immer positiv

f ist stets rechsgekrümmt.

f″(x)<0,f″ hat keine Nullstelle; ist immer negativ

Für x→0:f(x)→−∞,
für x→∞:f(x)→∞.

Die Funktion kommt bei x=0 aus dem negativ-Unendlichen und verläuft gegen Unendlich.

f(1)=0

Der Punkt (1|0) liegt auf dem Graphen von f .

f′(x)=1x;F(x)=x⋅(ln(x)−1)

Die Ableitung des Logarithmus Naturalis ist 1x. Mit der Produktregel abgeleitet gilt damit auch für seine Stammfunktion F′(x)=f(x).

f ist Umkehrfunktion von g(x)=ex

f(g(x))=ln(ex)=x;g(f(x))=eln(x)=x

e-Funktionsscharen

Eine Funktionsschar erhält man, wenn bei einer Funktion eine zusätzliche Unbekannte als Parameter (z.B. k,t,a,...

) enthalten ist. Diese wird dann üblicherweise als Index der Funktion angegeben.

Funktionsuntersuchungen an der Schar folgen den gleichen Regeln wie bei Funktionen. Man behandelt den Parameter dabei als feste Zahl, nach der nicht abgeleitet wird, sondern die beim Ableiten einfach eine Konstante darstellt.


Beispielaufgabe:

Gegeben ist ft(x)=(x−t)⋅e−x;t∈R:

a) Bestimme die Nullstellen von ft

in Abhängigkeit von t
.

Lösung:

Für Nullstellen muss ft(x)=0 gelten, also
(x−t)e−x=0⇒(x−t)=0⇒x=t

Jede Funktion der Schar hat also genau eine Nullstelle bei x=t.

b) Bestimme die Art und die Lage der Extremstellen von ft

in Abhängigkeit von t
.

Lösung:

Mit der Produktregel bestimmt man
f′t(x)=1⋅e−x+(x−t)⋅e−x⋅(−1)=e−x−(x−t)⋅e−x∣e−x ausklammern=e−x(1−(x−t))=e−x(−x+t+1)

Für Extremstellen muss f′t(x)=0 gelten, also
e−x(−x+t+1)=0⇒(−x+t+1)=0⇒x=t+1

Überprüfe die erste Ableitung auf einen Vorzeichenwechsel an der Stelle x=t+1

, z.B. mit x=t
und x=t+2
.
f′t(t)=e−t(−t+t+1)=e−t>0

f′t(t+2)=e−(t+2)(−(t+2)+t+1)=e−t−2(−t−2+t+1)=−e−t<0

Da ein VZW von +

nach −
vorliegt, handelt es sich um einen Hochpunkt.
Alternativ ließe sich das auch mithilfe der zweiten Ableitung zeigen.
Der gefundene Hochpunkt liegt bei x=t+1
und ist die einzige Extremstelle von ft
.
Die y
-Koordinate dazu lautet ft(t+1)=(t+1−t)⋅e−(t+1)=e−t−1
,
der Extrempunkt also (t+1∣e−t−1)
.
Damit hängen sowohl x
- als auch y
-Koordinate des Extrempunkts von dem Parameter t
ab.


Nun gibt es mehrere Möglichkeiten, konkrete Funktionen aus der Funktionsschar zu betrachten (hier am Beispiel der Extrempunkte).

  1. Man gibt einen bestimmten Parameter t

    vor und berechnet durch Einsetzen von t
    in die x
    - und y
    -Koordinate den Extrempunkt dieser Funktion:
    Beispiel: Für t=1
    ist der Extrempunkt dann (2∣e−2)
    .

  2. Man gibt einen bestimmten Wert für x

    vor, an welcher Stelle der Extremwert liegen soll. Diesen Wert nimmt man als Lösung der Gleichung für die x
    -Koordinate des Extremwerts, löst diese Gleichung nach dem Parameter auf, und setzt diesen Wert dann in die y
    -Koordinate ein.
    Beispiel: Soll bei x=4
    der Extremwert liegen, gilt x=t+1=4⇒t=3
    .
    Die y
    -Koordinate dazu lautet dann y=e−3−1=e−4
    , der Extrempunkt also (4∣e−4)
    .

  3. Man gibt einen bestimmten Wert für y
    vor, den der Extremwert haben soll. Diesen Wert nimmt man als Lösung der Gleichung für die y
    -Koordinate des Extremwerts, löst diese Gleichung nach dem Parameter auf, und setzt diesen Wert dann in die x
    -Koordinate ein.
    Beispiel: Soll bei y=e3
    der Extremwert liegen, gilt y=e−t−1=e3⇒−t−1=3⇒t=−4
    .
    Die x
    -Koordinate dazu lautet dann x=−4+1=−3
    , der Extrempunkt also (−3∣e3)
    .

Ableitung der ln
-Funktion mit Beispielen


Die Ableitung von f(x)=ln(x) ist f′(x)=1x.

Unter Berücksichtigung der Ableitungsregeln kann man auch eine allgemeine Logarithmusfunktion

f′(x)=a⋅ln(b(x−c))+d;a,b,c,d∈R

ableiten. Es gilt:

f′(x)=a⋅1b(x−c)⋅b=ax−c


Beispielaufgabe:

Bestimme die Ableitung folgender Funktionen:

f(x)=2ln(2x);g(x)=ln(1−x)+1;h(x)=ln(5x)5;i(x)=x⋅ln(x);

j(x)=ln(ax);k(x)=sin(x)⋅ln(x);l(x)=x⋅(ln(x)−1)


Lösung:

f′(x)=2⋅12x⋅2=2x

g′(x)=11−x⋅(−1)=−11−x=1x−1

h′(x)=15⋅15x⋅5=15x

i′(x)=ln(x)+x⋅1x=ln(x)+1 (Produktregel)

j′(x)=1ax⋅a=1x

k′(x)=cos(x)⋅ln(x)+sin(x)⋅1x (Produktregel)

l′(x)=ln(x)−1+x⋅1x=ln(x)−1+1=ln(x) (Produktregel)


Aus l(x) erkennt man, wie eine Stammfunktion von ln(x) aussehen muss. Es gilt:

f(x)=ln(x)⇒F(x)=x(ln(x)−1)=x⋅ln(x)−x

Zusammengesetzte e-Funktionen

Zusammengesetze e-Funktionen können aus einer Polynom- oder ganzrationalen Funktion multipliziert mit einer e-Funktion bestehen.

Allgemein:

f(x)=g(x)⋅eh(x)           

f′(x)=g′(x)⋅eh(x)+g(x)⋅eh(x)⋅h′(x)

Diese Regel zum Ableiten lässt sich durch Anwendung der Produktregel und Kettenregel zeigen.

Im Beispiel wird vorgerechnet, wie man eine solche Funktion ableitet und ihre Nullstellen berechnet.


Beispielaufgabe:

Bestimme die Nullstellen und die 1. Ableitung von

f(x)=(x2−4)⋅e4x+1.

Lösung:

Nullstellen:

f(x)=0:
0=(x2−4)⋅e4x+1∣ Satz vom Nullprodukt
0=e4x+1∨0=x2−4

Die erste Gleichung hat keine Lösung, da ex>0 gilt.

Für die zweite Gleichung gilt
0=x2−4∣+44=x2∣√x=±√4=±2

Die Nullstellen sind also x1=2 und x2=−2.

Ableitung:

f′(x)=2x⋅e4x+1+(x2−4)⋅e4x+1⋅4=2x⋅e4x+1+(4x2−16)⋅e4x+1∣e4x+1 ausklammern=(4x2+2x−16)⋅e4x+1

Ganzrationale Funktionsscharen


Eine Funktionsschar erhält man, wenn bei einer Funktion eine zusätzliche Unbekannte (z.B. k,t,a,...), der Parameter, enthalten ist.

Funktionsuntersuchungen an der Schar folgen den gleichen Regeln wie bei Funktionen. Man behandelt den Parameter dabei als feste Zahl, nicht als Variable.


Beispielaufgaben:

Beispiel 1)
Bestimme die Null- und Extremstellen von fa(x)=x2−2ax,a∈R.

Lösung:

Nullstellen: fa(x)=0
0=x2−2ax⇔0=x(x−2a)⇒x1=0;x2=2a

Extremstellen: f′a(x)=0
0=2x−2a⇔x=a
f″(a)=2>0⇒ Minimum


Beispiel 2)
Bestimme die Nullstellen von fk(x)=3x2−3kx3,k∈R∖{0}.
Für welches k hat fk den Hochpunkt H(2∣4)?

Lösung:

Nullstellen: fk(x)=0
0=3x2−3kx3⇔0=3x2(1−1kx)⇒x1;2=0;x3=k

Hochpunkt: f′k(x)=0
0=6x−9kx2⇔0=3x(2−3kx)⇒x1=0;x2=23k

f″k(x)=6−18kx,
f″k(0)=6>0⇒x1 ist Minimum
f″k(23k)=−6<0⇒x2 ist Maximum

Bestimme
f(23k)=3⋅(23k)2−3k(23k)3=49k2
Die Koordinaten des Hochpunkts in Abhängigkeit von k lauten also
H(23k∣f(23k))=H(23k∣49k2)

Bestimme k so, dass die Koordinaten die gewünschten Werte annehmen:
x-Koordinate: 23k=2⇔k=3
y-Koordinate: 49k2=4⇔k=±3
⇒k=3

Für k=3 hat fk also den Hochpunkt H(2∣4).

Ortskurve

Die Ortskurve einer Funktionenschar ist eine Kurve, die durch spezielle Punkte (Extrempunkte, Wendepunkte) der Graphen der Schar verläuft. In der Skizze rechts ist die Ortskurve durch die Tiefpunkte einer Funktionenschar dargestellt.

Man bestimmt die Ortskurve, indem man die Koordinaten des benannten Punktes in Abhängigkeit des Parameters bestimmt. Anschließend löst man die x

–Koordinate nach dem Parameter auf und setzt sie dafür in die Funktionsgleichung ein.


Beispielaufgabe:

Bestimme die Ortskurve durch die Tiefpunkte von ft(x)=1t2x4−8x2.

Lösung:

f′t(x)=4t2x3−16x

Extrempunkte bestimmen: f′(x)=0
4t2x3−16x=x(4t2x2−16)=0⇒x1=0;x2;3=4t2x2−16=0⇒x2;3=±2t


f″t(x1)=−16<0⇒x1
ist Maximum;
f″t(±2t)=32>0⇒x2;3
sind Minima.

Die Funktionswerte lauten
ft(±2t)=1t2⋅(±2t)4−8⋅(±2t)2=16t2−32t2=−16t2
⇒T1;2(±2t∣−16t2)

Stelle die x

-Koordinate nach t
um und setze den Term dann in der Funktionsgleichung ft(x)
für t
ein:
x=±2t⇒t=±x2einsetzen⟹y=−16(±x2)2=−16⋅x24=−4x2

Die Gleichung der Ortskurve der Tiefpunkte lautet damit y=−4x2.

Funktionsuntersuchung 

e-Funktion


Die speziellen Eigenschaften der e-Funktion machen eine Kurvendiskussion an vielen Stellen einfacher.


Beispielaufgabe:

Untersuche die Funktion f(x)=2e−x−1 auf Achsenschnittpunkte, Extrempunkte, Wendepunkte und ihr Globalverhalten. Zeige, dass f monoton fallend und linksgekrümmt ist. Fertige eine Skizze an.

Lösung:

Achsenschnittpunkte: f(x)=0 und f(0)
2e−x−1=0⇔e−x=12⇔−x=ln(12)⇒Sx(−ln(12)∣0)
f(0)=2e0−1=2−1=1⇒Sy(0∣1)

Extrempunkte: f′(x)=0
Aber: f′(x)=−2e−x≠0⇒ keine Extrempunkte

Wendepunkte: f″(x)=0
Aber: f″(x)=2e−x≠0⇒ keine Wendepunkte

Globalverhalten: Für x→∞:f(x)→−1 und für x→−∞:f(x)→∞

Monoton fallend: f′(x)<0 muss gelten
f′(x)=−2e−x<0 (da e−x>0 für alle x∈R) ⇒f monoton fallend

Linksgekrümmt: f″(x)>0 muss gelten
f″(x)=2e−x>0 (da e−x>0 für alle x∈R) ⇒f ist linksgekrümmt

Skizze:

Orientierte Flächeninhalte

Bei der Berechnung von Flächen zwischen einem Graphen und der x-Achse kann es vorkommen, dass die Fläche unterhalb der x-Achse verläuft. Solche Flächen werden beim Integral mit einem negativen Vorzeichen versehen. Da es an sich jedoch keine negativen Flächeninhalte gibt, spricht man in diesem Fall deshalb von Orientierten Flächeninhalten.


Skizze:

Befindet sich die eingeschlossene Fläche sowohl oberhalb als auch unterhalb der x-Achse, treten Auslöschungseffekte auf. Möchte man den Flächeninhalt berechnen, so muss man das Integral aufteilen: in den Teil der Fläche, der oberhalb der x-Achse verläuft, und den Teil, der unterhalb verläuft. Diese integriert man dann getrennt voneinander und summiert die Beträge der einzelnen Flächeninhalte auf.


Beispielaufgabe:

Berechne die markierten Flächeninhalte der Funktionen:

a) f(x)=89(x−52)2−2

b) g(x)=x3−8x2+19x−12



Lösung:

a) F(x)=827(x−52)3−2x


⇒F(1)=−3;F(4)=−7

∫41f(x)dx=F(4)−F(1)=−4


⇒A=4


b) G(x)=14x4−83x3+192x2−12x


⇒G(1)=−5912;G(3)=−2712;G(4)=−3212

∫31g(x)dx=G(3)−G(1)=83;


∫43g(x)dx=G(4)−G(3)=−512

⇒A=83+512=3712≈3,08

Alternativ kann man auch die Betragsfunktion bilden und über den gesamten Bereich integrieren:
A=∫41|g(x)|dx=3712

Integral:

Ober– und Untersumme


Gegeben sei eine stetige Funktion f mit (vorerst) f(x)≥0. Ziel ist es, die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x–Achse auf einem vorgegebenen Intervall [a;b] zu berechnen.

Dazu zerlegt man das Intervall in n äquidistante (gleichbreite) Teilstücke und berechnet den Flächeninhalt von Rechtecken, die einmal unterhalb des Graphen und einmal oberhalb des Graphen eingepasst werden.


Skizze:

Der aufsummierte Flächeninhalt der linken roten Rechtecke heißt UntersummeU(n),
der der rechten grünen Rechtecke ObersummeO(n).
Je feiner die Unterteilung ist, je größer also n ist, umso besser nähert sich der Flächeninhalt der Rechtecke an den tatsächlichen Flächeninhalt an.

Man kann beweisen, dass bei einer stetigen Funktion f der Grenzwert von Unter– und Obersumme der Fläche unter dem Graphen entspricht. Dieser Grenzwert heißt Integral von f über dem Intervall [a;b].

Es gilt:

limn→∞U(n)=limn→∞O(n)=∫baf(x)dx


Variation von ln(x)

Die Graphen folgender ln-Funktionen sollte man auswendig kennen:

Die rot markierten Funktionen ln(−x) (links) und −ln(−x) (rechts) erhält man jeweils durch Spiegelung der Ausgangsfunktion ln(x) bzw. −ln(x) an der y-Achse. −ln(x) erhält man davor durch Spiegelung von ln(x) an der x-Achse.

Die allgemeine Darstellung enthält mehrere Konstanten, die Streckungen oder Verschiebungen bewirken:

f(x)=a⋅ln(b(x−c))+d

a: Streckung in y-Richtung
1b: Streckung in x-Richtung
c: Verschiebung in x-Richtung
d: Verschiebung in y-Richtung

Die Funktion ist dann auf dem Intervall definiert, auf dem b(x−c)>0 gilt.


Beispielaufgabe:

Skizziere die Graphen von g(x)=ln(2x)+1 und h(x)=−12ln(1−x)
und beschreibe, wie sie aus dem Graphen von f(x)=ln(x) hervorgehen.

Lösung:

Zu g: Schreibe um zu g(x)=ln(2(x−0))+1
f wurde mit Faktor 2 in x-Richtung gestreckt und um 1 Einheit nach oben verschoben.

Zu h: Schreibe um zu h(x)=−12ln(−1(x−1))
f wurde an der x- und y-Achse gespiegelt, in y-Richtung mit Faktor 12 gestaucht und um 1 Einheit nach rechts verschoben.


Damit erhält man folgende Schaubilder:

Variation der e-Funktion


Die Graphen folgender Exponentialfunktionen sollte man auswendig kennen:

Die rot markierten Funktionen e−x (links) und −e−x (rechts) erhält man jeweils durch Spiegelung der Ausgangsfunktion ex bzw. −ex an der y-Achse. −ex erhält man davor durch Spiegelung von ex an der x-Achse.

Die allgemeine Darstellung enthält mehrere Konstanten, die Streckungen oder Verschiebungen bewirken:

f(x)=a⋅eb(x−c)+d

a: Streckung in y-Richtung
1b: Streckung in x-Richtung
c: Verschiebung in x-Richtung
d: Verschiebung in y-Richtung


Beispielaufgabe:

Beschreibe, wie die Graphen von g(x)=ex−2−1 und h(x)=3e−x+1
aus dem Graphen von f(x)=ex entstehen.

Lösung:

Zu g: f wurde um 2 Einheiten nach rechts und um 1 Einheit nach unten verschoben.

Zu h: f wurde an der y-Achse gespiegelt, mit Faktor 3 in y-Richtung gestreckt und um 1 Einheit nach oben geschoben.

Ableitung der ln-Funktion


Um die Ableitung von g(x)=ln(x) zu bestimmen, brauchen wir als Hilfsmittel den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion. Für eine Umkehrfunktion g einer differenzierbaren Funktion f und falls f′(g(y))≠0 ist, gilt:

g′(y)=1f′(g(y))

Die natürliche Logarithmusfunktion g(x)=ln(x) hat die Umkehrfunktion f(x)=ex.
Aus obiger Formel folgt dann:

g′(x)=1f′(ln(x))=1eln(x)=1x

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus g(x)=ln(x) ist damit g′(x)=1x.

Volumen von Rotationskörpern

Rotation um x-Achse


Rotiert ein Funktionsgraph auf einem Intervall [a;b],a<b um die x-Achse, kann man das Volumen des dadurch entstehenden Rotationskörpers berechnen. Man zerlegt das Gesamtvolumen in einzelne, infinitesimal kleine Volumina – nämlich Zylinder. Für das Volumen eines Zylinders gilt:

Vz=π⋅r2⋅h.

Summiert man nun alle Zylinder auf, entsteht ein Integral. Der Radius entspricht dem Funktionswert. Es gilt:

VRot.=π⋅∫baf(x)2dx


Skizze:


Beispielaufgabe:

Berechne das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn der Graph der Funktion
f(x)=√x+1 im Intervall [0;4] um die x–Achse rotiert.


Lösung:

V=π∫40(√x+1)2dx=π∫40(x+1)dx=π[12x2+x]40=π(12⋅42+4)=12π≈37,7 VE

Volumen von Rotationskörpern,
Rotation um y-Achse


Bei der Rotation des Graphen einer Funktion f um die y–Achse auf dem Intervall [a;b],a<b können wir das Volumen des entstehenden Körpers mit folgender Formel berechnen:

VRot.=π⋅∫f(b)f(a)(f−1(y))2dy

f muss dazu auf [a;b] umkehrbar sein, x=f−1(y) ist dann die Umkehrfunktion.


Skizze:


Beispielaufgabe:

Berechne das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn der Graph der Funktion
f(x)=x2 auf dem Intervall I=[0;1,5] um die y-Achse rotiert.

Lösung:

Umkehrfunktion: y=x2⇒x=±√y.
Auf I eingeschränkt: x=√y
Grenzen bestimmen: f(a)=√0=0;f(b)=√1,5

V=π∫√1,50(√y)2dy=π∫√1,50ydy=π[12y2]√1,50=π2⋅(√1,52−0)=34π≈2,36 VE

Integration der Exponentialfunktion


Für die natürliche Exponentialfunktion ex

gilt:

∫exdx=ex+c

Weiter gilt für alle a,b,k∈R, k≠0:

∫a⋅ek(x−b)dx=ak⋅ek(x−b)+c


Beispielaufgaben:

Beispiel 1)

Bestimme eine Stammfunktion von
f(x)=1−ex;g(x)=13e2x−2;h(x)=−ex−e−x

Lösung:

F(x)=x−ex;G(x)=13⋅12e2x−2=16e2x−2;H(x)=−ex+e−x


Beispiel 2)

Berechne die Integrale
a) ∫ln(3)0e3xdx;

b) ∫202exdx;
c)∫1−12e1−xdx

Lösung:

a) ∫ln(3)0e3xdx=[13e3x]ln(3)0=13(e3ln(3)−e3⋅0)=13((eln(3))3−1)=13(33−1)=263

b) ∫202exdx=∫202e−xdx=[−2e−x]20=−2(e−2−e0)=−2(e−2−1)

c) ∫1−12e1−xdx=[−2e1−x]1−1=−2(e1−1−e1−(−1))=−2(1−e2)


Beispiel 3)

Bestimme die Stammfunktion von f(x)=x−e2x+1

, die durch den Punkt P (0∣e2)
geht.

Lösung:

F(x)=12x2−12e2x+1+c

P

einsetzen, sodass F(0)=e2
gilt:

12⋅02−12e2⋅0+1+c=e2⇒−12e+c=e2⇒c=e

⇒F(x)=12x2−12e2x+1+e

Uneigentliche Integrale

Flächen, die bis ins Unendliche reichen, können trotzdem einen endlichen Flächeninhalt haben. Die Berechnung dieser Flächeninhalte erfolgt mittels uneigentlicher Integrale.

Es gibt zwei Möglichkeiten solcher Flächen:

  1. Nach rechts bzw. links unbegrenzte Flächen, wenn die Funktion f

    gegen einen Grenzwert konvergiert:

    Dann gilt ∞∫af(x)dx=limu→∞u∫af(x)dx

  2. Nach oben bzw. unten begrenzte Flächen, die sich einer Definitionslücke x0

     von f
    annähern:

    Dann gilt b∫x0f(x)dx=limu→x0b∫uf(x)dx

Man wählt also in beiden Fällen eine benachbarte Stelle u

, berechnet das Integral und führt anschließend den Grenzübergang durch. (Analog, falls die untere Grenze im Unendlichen ist bzw. die obere Grenze die Definitionslücke ist.)

Das berechnete Integral hat dann einen endlichen Wert, wenn der berechnete Grenzwert endlich ist.

Beispielaufgabe:

Berechne die Fläche zwischen der x

-Achse und dem Graphen von f
 auf dem Intervall [a;b]
:

a) f(x)=1x2;[1;∞)

Lösung:
u∫11x2dx=[−1x]u1=−1u−(−11)=−1u+1;limu→∞(−1u+1)=1


Der Flächeninhalt der nach rechts unbegrenzten Fläche beträgt also 1 FE.

b) f(x)=1√x;(0;1]

Lösung:
1∫u1√xdx=[2√x]1u=2√1−2√u=2−2√u;limu→0(2−2√u)=2


Der Flächeninhalt der nach oben unbegrenzten Fläche beträgt also 2 FE.

Partielle Integration


Die partielle Integration ermöglicht es, bestimmte Produkte von Funktionen zu integrieren.

Es gilt für stetige Funktionen f und g im Intervall [a;b]:

∫baf′(x)⋅g(x) dx=[f(x)⋅g(x)]ba−∫baf(x)⋅g′(x) dx

Kennt man also eine Stammfunktion von f oder g und kann man das Integral auf der rechten Seite bestimmen, so kann man auch das Produkt integrieren.


Herleitung:

Die Ableitung der Produktfunktion f⋅g bildet man mit der Produktregel:

(f(x)⋅g(x))′=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)

Integriert man nun beide Seiten, erhält man

∫(f(x)⋅g(x))′dx=∫(f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x))dx=∫f′(x)⋅g(x)dx+∫f(x)⋅g′(x)dx

Da das Integrieren der Ableitung auf der linken Seite grade wieder die Funktion selbst ergibt, gilt somit

f(x)⋅g(x)=∫f′(x)⋅g(x)dx+∫f(x)⋅g′(x)dx

Indem man eines der beiden Integrale auf die andere Seite bringt, erhält man die obenstehende Formel für die partielle Integration.


Beispielaufgaben:

Berechne mithilfe partieller Integration:

a) ∫51x⋅ln(x) dx;

b) ∫21x⋅ex dx;
c) ∫π20sin(x)⋅cos(x) dx



Lösung:

a) Wähle f′(x)=x;g(x)=ln(x)⇒f(x)=12x2;g′(x)=1x

∫51x⋅ln(x) dx=[12x2⋅ln(x)]51−∫5112x2⋅1x dx=12⋅52⋅ln(6)−12⋅12⋅ln(1)−∫5112x dx=252ln(5)−0−[14x2]51=252ln(5)−(254−14)=252ln(5)−6



b) Wähle f′(x)=ex;g(x)=x⇒f(x)=ex;g′(x)=1

∫21x⋅ex dx=[ex⋅x]21−∫211⋅ex dx=e2⋅2−e1⋅1−[ex]21=2e2−e−(e2−e)=2e2−e−e2+e=e2


c) Wähle f′(x)=sin(x);g(x)=cos(x)⇒f(x)=−cos(x);g′(x)=−sin(x)

∫π20sin(x)⋅cos(x) dx=[−cos2(x)]π20−∫π20sin(x)⋅cos(x) dx2⋅∫π20sin(x)⋅cos(x) dx=[−cos2(x)]π20intπ20sin(x)⋅cos(x) dx=−12(cos2(π2)−cos2(0))=−12(0−1)=12

Integrale und Stammfunktionen

Integrale kann man mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) bestimmen:

Ist f

eine stetige Funktion mit einer Stammfunktion F
(es gilt also F′(x)=f(x)
), dann gilt nach dem HDI:

∫baf(x)dx=[F(x)]ba=F(b)−F(a)

D.h. man berechnet den Wert dieses bestimmten Integrals, indem man eine Stammfunktion bildet und die Differenz der Stammfunktion an der oberen Grenze und der Stammfunktion an der unteren Grenze berechnet.


Beispielaufgabe:

Berechne folgende Integrale:

a) ∫102x2dx;

b) ∫20101dx;
c) ∫0−4x+2dx

Lösung:

a) ∫102x2dx=[23x3]10=23⋅13−23⋅03=23

b) ∫20101dx=[x]2010=20−10=10

c) ∫0−4x+2dx=[12x2+2x]0−4=0−(12(−4)2+2⋅(−4))=−162+8=−8+8=0


Wichtige Integrale / Stammfunktionen

Dies ist eine Auflistung häufig benötigter Integrale bzw. Stammfunktionen, deren Herleitung entweder sehr kompliziert ist oder schlichtweg nicht bei jeder Anwendung nachgewiesen werden muss. Die Integrationskonstante c

sei jeweils als 0 gewählt.

f(x)F(x)=∫f(x) dx
1x
xn+11n+1⋅xn+1
1xln(|x|)
sin(x)−cos(x)
cos(x)sin(x)
exex
a⋅ekx;a,k∈Rak⋅ekx
ax;a∈R+1ln(a)ax
g(ax+b);a,b∈R1aG(ax+b)+c;
G ist Stammfunktion von g
Arbeitsblätter

Analysis 

Klausur 

Schwierigkeitsgrad 1 / Serie 01

Aufgabe 1

Bestimme von den Funktionen jeweils das Verhalten im Unendlichen.

a)

limx→±∞x2−xx+2

b)

limx→±∞x2+2xx2−2

c)

limx→±∞−x2+2xx2−2x3

d)

limx→±∞2x2+3x2−6x2−2








e)

limx→±∞2x+3x2−6x2−2

f)

limx→±∞2x+4−7x2−3

g)

limx→±∞5x+4−5x2−3

h)

limx→±∞5x−4x3−5x2−3

















Aufgabe 2

Benenne in den Funktionsgraphen alle Asymptoten, gehe auf dessen Eigenschaften ein und benenne die Vielfachheit der vorkommenden Nullstelle. Bei der schrägen Asymptote kann die Funktionsgleichung der schrägen Asymptote geschätzt werden. Hinweis: Es gibt nur die Unterscheidung zwischen doppelten und einfachen Nullstellen im Zähler und Nenner.

a)

b)

c)



Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktion (x)=0,5x3−2x2−9x+18x2−x−2.

Beantworte folgende Fragen.

a)

Welche Nullstellen sind im Funktionsgraphen abzulesen?

b)

Welche Asymptoten kannst du erkennen? Welche Eigenschaft weisen diese Asymptoten auf?

c)

Berechne die Definitionsmenge dieser Funktion. Was fällt auf?

d)

Berechne die Nullstellen der Funktion.

e)

Berechne das Verhalten der Funktion im Grenzbereich der Definitionslücken und beweise damit, dass deine Aussage aus Teilaufgabe b) stimmt. Welche Besonderheit weist die Menge der Definitionslücken auf? Hinweis: Faktorisiere nach Berechnung der Nullstellen und der Definitionslücken den Zähler und Nenner und kürze so weit wie möglich.

f)

Was müsste am Funktionsgraphen geändert werden, dass du die besonderen Ergebnisse aus Teilaufgabe c) und e) direkt am Funktionsgraphen hättest ablesen können?

g)

Berechne die schräge Asymptote.

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